Úvod
Pod pojmem vzpěru prutu máme na mysli stav prutu jako na obr. 1. Prut mějme konstantního průřezu, vytvořený z dokonalého fyzikálně lineárního materiálu bez jakékoliv nedokonalosti narušující jeho symetrii. Vzpěr prutu je poměrně obtížně řešitelný problém. V oblastech dosažení a překročení kritické síly (mluvíme o pokritickém působení) se ukazuje mnoho běžných zjednodušení nepoužitelných.
Model
Zřejmě nejjednoduším přístupem umožňujícím snadné řešení je jednostupňový model. Slovem jednostupňový máme namysli, že hledáme pouze jednu neznámou - jeden stupeň volnosti. Toto je možné pouze tehdy, provedeme-li zásadní zjednodušení celého problému. Zjednodušení musí být takové, aby zachovávalo podstatné rysy původního problému. Statické schéma zjednodušeného jednostupňového modelu v obecné poloze je na obrázku 2.
Prut je nahrazen dvěma tuhými nestlačitelnými a neohebnými prvky spojenými kloubem s rotační pružinou. Pružina nechť je lineární. Tedy moment, kterým působí na konce obou prvků, je lineárně závislý na vzájemném pootočení těchto prvků. Tento vztah lze vyjádřit:
| (1) |
kde M je moment pružiny, l je délka prutu, 
je pootočení prvku vzhledem k ose x a k je tuhost pružiny.
Rovnice
Naznačenou úlohu lze řešit dvěma způsoby. Prvním, jednodušším, jsou statické podmínky rovnováhy. Druhým, obtížnějším, je využití energetických principů. Tyto principy mají obecnější charakter. Umožňují nejen nalezení řešení, ale i možnost jeho kvalitativního zhodnocení. Ukážeme si obojí.
Statické podmínky rovnováhy
Jelikož je model staticky určitý, můžeme ihned přistoupit k sestavení hledané rovnice. Vyjmeme například levý prvek a ekvivalentně jej zatížíme (viz obr. 3).
Na vyjmutém prvku sestavíme momentovou podmínku rovnováhy (třeba k levému konci prvku). Po sestavení a dosazení vztahu (1) za moment M nám vyjde rovnice:
 | (2) |
kde námi hledanou neznámou je pootočení .
Energetické principy
Pro řešení, využívajících těchto principů, vycházíme ze sestavení tzv. potenciální energie deformace systému konstrukce - zatížení. Potenciální energii deformace získáme tak, že od potenciální energie vnitřních sil konstrukce odečteme potenciální energii vnějších sil (zatížení). Vnitřní síly v našem případě mají potenciální energii odpovídající polovině práce konané momentem M na pootočení 2. Tedy platí:
 | (3) |
kde 
i je potenciální energie vnitřních sil. Vnější síly v našem případě mají potenciální energii odpovídající práci konané vnější silou F na posunu působiště této síly ve směru této síly ze stavu bez napjatosti do myšleného stavu. Tedy platí:
 | (4) |
kde e je potenciální energie vnějších sil. Sestavíme celkovou potenciální energii deformace:
 | (5) |
kde je celková potenciální energie deformace systému. Pro řešení úlohy platí, že potenciální energie systému nabývá svého extrému. Pro stabilní řešení nabývá lokálního minima a pro nestabilní lokálního maxima. Musí být tedy splněna podmínka:
 | (6) |
Po derivaci dostáváme:
 | (7) |
což je rovnice totožná s rovnicí (2) odvozenou ze statických podmínek rovnováhy.
Neznámý parametr
V předchozím textu jsme se nezmínili o hodnotě parametru tuhosti pružiny k. Jeho velikost by měla být taková, aby vlastnosti vytvořeného jednostupňového modelu nějakým způsobem odpovídaly nahrazenému prutu. Pro vzpěr prutu s převládajícím vlivem ohybové tuhosti (štíhlý prut, normálově a smykově tuhý) je nejdůležitější vlastností hodnota tzv. kritické síly. Kritickou sílu můžeme definovat jako sílu, při níž dochází ke ztrátě stability systému. Její hodnota je známa a platí pro ni:
 | (8) |
kde Fcr je hodnota kritické síly a EI je ohybová tuhost prutu. Definujme funkci f() takto (levá strana výsledné rovnice (7)):
 | (9) |
Potom pro kritickou sílu jednostupňového modelu musí platit:
 | (10) |
což lze zapsat:
 | (11) |
A tedy pro parametr k, s ohledem na vzorec (8), musí platit:
 | (12) |
Řešení
Pomocí vztahu (12) a (8) upravíme rovnici (9) do tvaru:
 | (13) |
Rovnice je nelineární a může mít více řešení. Triviálním řešením rovnice je pro libovolnou velikost síly F pootočení =0. Což odpovídá přímému tvaru prutu. Nalezení dalších řešení již nebude tak snadné. V zásadě můžeme použít více postupů. Budeme-li chtít znát další řešení se zvolenou přesností, použijeme iteračních metod. Nebo chcemi-li nalézt nějaký přibližný vztah, zjednodušíme rovnici na snáze řešitelný problém (např. pomocí Taylorova rozvoje). Opět si ukážeme obojí.
Iterační metoda
V zásadě můžeme při výběru iteračních metod postupovat dvojím způsobem:
.). Protože těchto možných počátečních pootočení je nekonečně mnoho a také lze zvolit nekonečně mnoho hodnot vzpěrné síly F, ukazuje se výhodné zobrazit, která dvojice zvolených hodnot vede k jakému řešení. Příklad takového zobrazení je na obr. 4:
Na tomto obrázku je každý bod z čtverce vzat jako vstup do Newtonovy metody (tedy hodnota síly a počáteční pootočení). Provedou se iterace řešení až do zvolené přesnosti. Bod ze čtverce je potom označen barvou příslušnou k nalezenému řešení. Každé z řešení je vykresleno příslušnou barvou v maximálním jasu. Pro ostatní body platí, že čím je barva jasnější, tím více iterací bylo k nalezení řešení zapotřebí.
Zřetelně viditelné rozhraní na obrázku má velmi hustý fraktální charakter, což je způsobeno vlastnostmi Newtonovy metody.
Přibližné řešení
Řešení rovnice (13) je problematické zejména proto, že je nelineární. Nachází se v ní totiž funkce sinus. První dva členy Taylorova rozvoje funkce sinus vypadají takto:
 | (14) |
Tento vztah dosadíme do rovnice (13) a ta tím přejde v přibližnou nelineární rovnici, kterou již umíme přesně vyřešit:
 | (15) |
Tato rovnice má tři řešení v tomto tvaru:
 | (16) |
Srovnání
Pro rekapitulaci a zhodnocení vztahu (16) si oba přístupy srovnáme. Zvolíme Fcr=
N, tedy např. délka prutu l=1 m a ohybová tuhost prutu EI=1 Pa.m4. Grafické srovnání obou přístupů je na obr. 5:
Z grafu na obr. 5 a z uvedených vztahů vyplývá, že přibližné řešení (16) dává přesně hodnotu triviálního řešení a také v okolí kritické síly dobře aproximuje obě symetrická netriviální řešení vznikající v okamžiku dosažení kritické síly.
Stabilita
Jelikož jsme zjistili, že za kritickou silou (v pokritické oblasti) existují tři řešení, lze i bez větších znalostí odhadnout, že všechna tato řešení nebudou stabilní (tedy reálná). Protože jsme si odvodili vztah pro potenciání energii deformace systému (5), tak již máme k dispozici nástroj, jímž stabilitu ověříme. Graficky lze průběh potenciální energie znázornit třeba jako na obr. 6:
Již bylo řečeno, že stabilní řešení má potenciální energii deformace systému lokálně minimální. Nestabilní řešení pak lokálně maximální. Z obr. 6 je patrné: Je-li vzpěrná síla F menší než kritická, je triviální řešení stabilní. V okamžiku dosažení kritické síly se ale toto řešení štěpí na dvě symetrická netriviální řešení a triviální řešení již není dále stabilní.
Závěr
Model vzpěru prutu byl vytvořen tak, aby jeho kritická síla odpovídala známé kritické síle prutu. Ačkoliv byl model pouze jednostupňový, vlastnosti jeho řešení jsou dobrým obrazem vlastností spojitého řešení, jehož nalezení je složitější. Podstatné je, že dosažení kritické síly se projevuje nejen ztrátou stability, ale i vznikem nových stabilních řešení.