Petr Frantík

Úvod

Newtonova iterační metoda se používá pro řešení jedné reálné rovnice o jedné reálné proměnné. Použijeme ji obvykle tehdy, neznáme-li explicitní vyjádření řešení této rovnice. Tuto rovnici lze psát ve tvaru:

kde všechna z vyhovující této rovnici (řešení rovnice), nazýváme kořeny rovnice. Newtonova metoda je jednou z numerických metod pro nalezení přibližného řešení. Její iterační předpis vypadá takto:

kde c je počáteční hodnota, či počáteční bod iterace. Tímto bodem je určen postup newtonovy metody. Z jednoho počátečního bodu lze proto nalézt pouze jeden kořen rovnice. Každému kořenu rovnice tak přísluší určitá množina počátečních hodnot, které povedou k nalezení tohoto kořene.

Newtonovu metodu lze pochopitelně použít i v komplexním oboru čísel, kde se číslo z dá napsat ve tvaru:

funkci f(z) lze rozložit do tvaru:

a její derivaci do tvaru:

Newtonovu metodu lze potom rozložit do tvaru:

kde počáteční bod bude:

Výpočty

Pro zobrazení vlastností Newtonovy metody bude nejlepší, zobrazíme-li si komplexní rovinu počátečních bodů a každý bod označíme vybranou barvou příslušnou ke kořenu, ke kterému Newtonova metoda konverguje pro daný počáteční bod. Navíc bude dobré, rozlišíme-li počet iterací, nutných k dosažení zvolené přesnosti.

Na obrázcích 1 až 5 pro základní polynomiální rovnice je zobrazena rovina -1.5<=x<=1.5 a -1.5<=y<=1.5. Iterační konvence je taková, že čím menší počet nutných iterací, tím tmavší je daná barva. Dosáhne-li počet iterací hodnoty 25 je intenzita barvy maximální. Je-li počet iterací větší než 25, intenzita barvy se dále nezvyšuje.

Obr. 1: Rovnice z²+1 = 0

Obr. 2: Rovnice z³+1 = 0

Obr. 3: Rovnice z³-1 = 0

Obr. 4: Rovnice z⁴+1 = 0

Obr. 5: Rovnice z⁴-1 = 0

Závěr

Z obrázků 2 až 5 je vidět, že rozhraní oddělující jednotlivé plochy je pro polynomy vyššího stupně složité, konkrétně fraktální. V těchto oblastech bude bez znalosti tohoto rozložení obtížné stanovit výsledný kořen.