Rekonstrukce fázového portrétu z časové řady
jedné stavové proměnné

Petr Frantík

Úvod

Pro příklad použitelnosti rekonstrukce fázového portrétu systému se třemi stavovými proměnnými jsem použil literaturu [Viktor Votruba, diplomová práce, MU v Brně, Brno 2000], jenž vycházel z [A. Wolf et all, Determining Lyapunov exponents from a time series, Physica 16D, 1985] a [N. H. Packard, J. P. Crutchfield, J. D. Farmer and R. Shaw, Geometry from a time series, Phys. Rev. Letters 45]. Postup rekonstrukce je následující: Máme dynamický systém s více stavovými proměnnými, u něhož známe časovou závislost pouze jedné stavové proměnné. Chceme sestrojit atraktor, jenž by měl stejné topologické vlastnosti jako atraktor získaný z řešení soustavy obecných diferenciálních rovnic. Označme x(t) časovou řadu jedné ze stavových proměnných. Jako nezávislé souřadnice fázového prostoru můžeme potom použít hodnoty x(t), y(t)=x(t-t), z(t)=x(t-2t), ..., kde t je čas určující časové zpoždění.

 

Vlastní výsledky

Tento postup jsem vyzkoušel na svém systému se třemi stavovými proměnnými, jenž modeluje nelineární konzolu. Ze soustavy ODR jsem nejprve vygeneroval časovou řadu j(t) s krokem h= 0.001 s viz obr. 1. Předmětem rekonstrukce se stala stavová proměnná w(t), kterou jako jedinou potřebujeme pro zobrazení projekce atraktoru. Problémem je stanovení správné hodnoty časového zpoždění t. Příliš nízké hodnoty vedou k deformaci portrétu na přímku. Příliš vysoké hodnoty portrét znehodnocují.


Obr. 1: Počáteční část vygenerované časové řady


Obr. 2: Projekce atraktoru vygenerovaného řešením ODR


Obr. 3: Projekce rekonstrukce atraktoru pro t rovno 0.002 s


Obr. 4: Projekce rekonstrukce atraktoru pro t rovno 0.01 s


Obr. 5: Projekce rekonstrukce atraktoru pro t rovno 0.015 s


Obr. 6: Projekce rekonstrukce atraktoru pro t rovno 0.02 s


Obr. 7: Projekce rekonstrukce atraktoru pro t rovno 0.1 s

 

Závěr

Z uvedených obrázků vyplývá: